✍️ 周茂 , 陈箫翰  •  📅 2026-01-13

trend1d

官方文档:

trend1d

简介:

为 xy[w] 数据拟合多项式/傅里叶模型 y = f(x)

trend1d 从输入文件或标准输入中读取 x, y [和 w]，并使用最小二乘拟合拟合回归模型 y = f(x) + e 。 f(x) 的函数形式可以为多项式、傅里叶级数或者二者的混合，拟合可以通过对数据的迭代加权逐渐变稳健。 还可以搜索 f(x) 中能显著降低 y 的方差的项数。

语法

gmt trend1d [ table ] -Fxymrw|p|P|c -N[p|P|f|F|c|C|s|S|x]n[,...][+llength][+oorigin][+r] [ -Ccondition_number ] [ -I[confidence_level] ] [ -T[min/max/]inc[+i|n] |-Tfile|list ] [ -V[level] ] [ -W[+s] ] [ -bibinary ] [ -bobinary ] [ -dnodata[+ccol] ] [ -eregexp ] [ -fflags ] [ -hheaders ] [ -iflags ] [ -qflags ] [ -sflags ] [ -wflags ] [ -:[i|o] ] [ --PAR=value ]

输入数据

table

一个或多个ASCII或二进制表数据。若不提供表数据，则会从标准输入中读取。

必须选项

-F
-Fxymrw|p|P|c

在 {x y m r w} 中按任意顺序指定最多五个字母，以指定输出的列。

  • x ：x 坐标

  • y ：y 坐标

  • m ： f(x)

  • r ：残差，y - m

  • w ：拟合中使用的权重

注意：如果包含 m ，则按 x 递增顺序对输出进行排序（无论是否选择 x ）。

也可以使用 -Fp 输出包含多项式模型系数的记录，或 -FP 输出归一化多项式模型系数，或 -Fc 输出归一化切比雪夫模型系数。

-N
-N[p|P|f|F|c|C|s|S|x]n[,...][+llength][+oorigin][+r]

设置模型的每个组成部分，每个部分通过逗号分隔。其中每部分的格式 均为 Tn 的形式，其中 T 为基函数，n 为多项式的阶数 或者 Fourier 序列的项数。T 可以为如下选择：

  • p ：多项式，包含常数项以及各阶项，最大阶数为 n

  • P ：多项式，只包含 \(x^n\) 项

  • f ： n 项 Fourier 序列

  • c ： n 项 Cosine 序列

  • s ： n 项 Sine 序列

  • F ：单个 Fourier 分量，阶数为 n

  • C ：单个 Cosine 分量，阶数为 n

  • S ：单个 Sine 分量，阶数为 n

默认情况下，x 原点 origin 和周期 length 分别被设置为中间点和数据的整个范围。使用 +oorigin 和 +llength 可修改上述默认值。在获取 基函数前，首先对 x 进行归一化的处理。 三角基函数都使用 \(x' = 2\pi(x-\mbox{origin})/\mbox{length}\) 归一化， 多项式使用 \(x' = 2(x-\mbox{origin})/\mbox{length}\) 归一化。追加 +r 选项可获得更加稳健的解。[默认使用最小二乘拟合]。使用 -V 选项可看到模型的文本展示。

可选选项

-C
-Ccondition_number

设置矩阵解的最大允许条件数 (condition number)。 trend1d 拟合阻尼最小二乘模型，仅保留特征值谱中最大特征值与最小特征值之比为 condition_number 的那部分。 [默认值：condition_number = 1.0e06]

-I
-I[confidence_level]

迭代地增加模型参数的数量，从 1 开始，直到达到 n_model 或者模型方差的减小在 confidence_level 水平上不再显著。 可以仅设置本选项而不附加数字。在这种情况下，拟合将迭代进行，默认置信水平为 0.51。 或者在 0 到 1 之间设置 confidence_level 。具体请参阅备注部分。 请注意，模型项是按 -N 中给出的顺序添加的，因此应该将最重要的项放在前面。

-T
-T[min/max/]inc[+i|n] |-Tfile|list

在参数指定的等间距点上对最优拟合回归模型进行求值。 如果仅给出了 -Tinc ，将把 min 和 max 重置为每个分段的 x 值的极值。 若要完全跳过模型求值，使用 -T0。

-V
-V[level]

设置 verbose 等级 [w]。 (参数详细介绍)

-W
-W[+s]

从输入数据的第 3 列读取权重，进行加权最小二乘拟合，或者在进行迭代稳健拟合时以这些权重作为起始值。 附加 +s 则把读取的数据当作一倍 sigma 的不确定度，并按照 1/\(\sigma^2\) 计算权重。

-bi
-bi[ncols][type][w][+l|b]

控制二进制文件的输入格式。 (参数详细介绍)

默认值为 2 列，如果设置了 -W 则为 3 列。

-bo
-bo[ncols][type][w][+l|b]

控制二进制文件的输出格式。 (参数详细介绍)

默认值为 -F 指定的 1-5 列。

-d
-d[i|o]nodata

将某些特定值当作 NaN。 (参数详细介绍)

-e
-e[~]"pattern" | -e[~]/regexp/[i]

筛选或剔除匹配指定模式的数据记录。 (参数详细介绍)

-f
-f[i|o]colinfo

显式指定当前输入或输出数据中每一列的数据类型。 (参数详细介绍)

-h
-h[i|o][n][+c][+d][+msegheader][+rremark][+ttitle]

在读/写数据时跳过文件开头的若干个记录。 (参数详细介绍)

-i
-icols[+l][+sscale][+ooffset][,...][,t[word]]

对输入的数据进行列选择以及简单的代数运算。 (参数详细介绍)

-q
-q[i|o][~]rows[+ccol][+a|f|s]

对输入或输出的行进行筛选，该选项在一定程度上可以代替 gawk 的某些功能。 (参数详细介绍)

-s
-s[cols][+a|+r]

设置 NaN 记录的处理方式。 (参数详细介绍)

-w
-wy|a|w|d|h|m|s|cperiod[/phase][+ccol]

将输入坐标转换为循环坐标。 (参数详细介绍)

-:
-:[i|o]

交换输入或输出数据的前两列。 (参数详细介绍)

-^ 或 -

显示简短的帮助信息，包括模块简介和基本语法信息（Windows下只能使用 -）

-+ 或 +

显示帮助信息，包括模块简介、基本语法以及模块特有选项的说明

-? 或无参数

显示完整的帮助信息，包括模块简介、基本语法以及所有选项的说明

--PAR=value

临时修改GMT参数的值，可重复多次使用。参数列表见 配置参数

ASCII 格式精度

ASCII 格式输出数据通过 gmt.conf 配置文件控制。控制经纬度格式的参数为 FORMAT_GEO_OUT ；控制绝对时间的的参数包括 FORMAT_DATE_OUT 和 FORMAT_CLOCK_OUT ；普通浮点数通过参数 FORMAT_FLOAT_OUT 控制。上述格式控制可能会导致精度损失，这会在下游计算中导致一些问题。 如果用户需要保证数据精度，则应考虑将数据写为二进制文件，或者使用 FORMAT_FLOAT_OUT 指定更多的有效数字。

注意事项

如果包含了多项式模型，且多项式为全阶（否则仍使用 x 的幂），则 x 的定义域将被平移并缩放至 [-1, 1]，基函数将采用切比雪夫（Chebyshev）多项式。 在待求逆矩阵的形式上，切比雪夫多项式具有数值优势，能够得到更精确的解。 n 阶切比雪夫多项式在 [-1, 1] 内有 n+1 个极值点，且在这些点上的值均为 -1 或 +1。 因此，多项式模型系数的大小可以直接进行比较。 注意：稳定的模型系数是切比雪夫系数。在 Verbose 模式下也会给出 a + bx + cxx + ... 形式的对应多项式系数。 但用户必须意识到，当阶数超过 7 或 8 时，这些系数是不稳定的。更多讨论请参阅《数值算法》（Numerical Recipes）。 有关切比雪夫多项式的求值，请参阅 math 。

-N...+r （稳健）和 -I （迭代）选项通过 F 检验来评估模型失拟卡方值（Chi-Squared）改善的显著性。 默认置信限制设置为 0.51。可以通过 -I 选项进行修改。 用户可能会惊讶地发现，在大多数情况下，通过增加模型项数所实现的方差减小在极高置信度下并不显著。 例如，在 120 个自由度下，卡方值必须降低 26% 或更多，才能在 95% 置信水平下具有显著性。 如果只要卡方值在减小就想继续迭代，请将 confidence_level 设置为 0。

为了使稳健（robust）方法生效，需要一个较低的置信限制（例如默认值 0.51）。该方法通过迭代地对数据重新加权来减小异常值的影响。 权重基于中位数绝对偏差（Median Absolute Deviation）和 Huber [1964] 提出的公式，当模型残差符合无异常值的正态分布时，其效率为 95%。 这意味着在每次迭代中，异常值的影响仅略微减小。因此，卡方值的减小并不十分显著。如果该过程需要多次迭代才能成功减弱它们的影响，则 F 检验的显著性水平必须保持在较低水平。

示例

在数据 data.xy 中移去线性趋势:

gmt trend1d data.xy -Fxr -Np1 > detrended_data.xy

在上述结果中，剔除粗差，获得更加稳健的趋势估计结果:

gmt trend1d data.xy -Fxr -Np1+r > detrended_data.xy

拟合模型 y(x) = a + bx^2 + c * cos(2*pi*3*(x/l) + d * sin(2*pi*3*(x/l)， 基函数周期设置为 15

gmt trend1d data.xy -Fxm -NP0,P2,F3+l15 > model.xy

寻找稳健 Fourier 内插中所有显著的项数

gmt trend1d data.xy -Nf20+r -I -V

参考文献

Huber, P. J., 1964, Robust estimation of a location parameter, Ann. Math. Stat., 35, 73-101.

Menke, W., 1989, Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory, Revised Edition, Academic Press, San Diego.

相关模块

trend2d, regress, grdtrend, math